C Mathematische Grundlagen

C.1 Verband

Eine nichtleere Menge V heißt Verband (V, +, ·) (engl. lattice), wenn auf V zwei Verknüpfungen (statt + und · oft auch und , und , manchmal auch und geschrieben) definiert sind, so daß für alle folgende Axiome gelten:

(1)

Axiome der Kommutativität

a · b = b · a

a + b = b + a

(2)

Axiome der Assoziativität

(a · b) · c = a · (b · c)

(a + b) + c = a + (b + c)

(3)

Axiome der Absorption (Verschmelzung)

a · (a + b) = a

a + (a · b) = a

Ein Verband heißt distributiv, wenn für alle ferner gelten:

(4)

Axiome der Distributivität

a · (b + c) = (a · b) + (a · c)

a + (b · c) = (a + b) · (a + c)

Ein distributiver Verband heißt komplementär, wenn er zwei Elemente n und e (oft als 0 und 1, true und false, bzw. und Grundmenge G bezeichnet) enthält, für die gelten:

(5)

Axiome der neutralen Elemente
Für alle gilt:

a · e = a

a + n = a

(6)

Axiom der Existenz des komplementären Elements
Zu jedem gibt es ein komplementäres , so daß:

Ein distributiver komplementärer Verband heißt Boolescher Verband oder Boolesche Algebra. Als Komplementzeichen dienen neben ¯¯ auch c(·), ein kleines hochgestelltes oder .

Folgende Gesetze gelten in einem Booleschen Verband:

• Doppeltes Komplement
  
• Idempotenzgesetze
  

  a · a = a

  a + a = a

• De Morgan-Gesetze
  
• Dominanzgesetze
  

  a · n = 0

  a + e = e

• n- und e-Komplemente
  

Dualitätsprinzip: Vertauscht man in einem Gesetz der Booleschen Algebra/Verbände die Verknüpfungen · und + sowie gleichzeitig n und e miteinander, so ergibt sich wieder ein Gesetz der Booleschen Algebra/Verbände.

Satz von Stone: Jeder Boolesche Verband mit endlich vielen Elementen ist isomorph einem Mengenverband .

Die Anzahl der Elemente eines endlichen Booleschen Verbands ist mit

Beispiel: Verknüpfungstafeln des vierelementigen Booleschen Verbands mit der Trägermenge V = (0, p, q, 1)

· 0 p q 1

0 0 0 0 0

p 0 p 0 p

q 0 0 q q

1 0 p q 1

+ 0 p q 1

0 0 p q 1

p p p 1 1

q q 1 q 1

1 1 1 1 1

C.2 t-Norm, t-Conorm

Eine t-Norm (von engl. triangular, Dreiecks-) ist eine Funktion , die folgenden Bedingungen genügt:

(1)

Monotonie:
und

(2)

Kommutativität:
T(a,b) = T(b,a)

(3)

Assoziativität:
T(a, T(b,c))=T(T(a,b),c)

(4)

Einselement:
T(a,1) = a

Eine t-Conorm muß wie eine t-Norm ebenfalls die Eigenschaften (1), (2) und (3) erfüllen, anstelle von (4) wird jedoch T(a,0) = a gefordert. Wird als Negation verwendet, induziert jede t-Norm T eine t-Conorm mittels